부분적분 2
적분,부분적분,integration
부분적분 예제 정리.
예제 1. \(\int x \cos x \, dx\)
\[u = x,\quad dv = \cos x \, dx \\ du = dx,\quad v = \sin x\] \[\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx \\ = x \sin x + \cos x + C\]예제 2. \(\int x^2 e^x \, dx\)
반복 적용 필요.
1차 적용:
\[u = x^2,\quad dv = e^x \, dx \\ du = 2x \, dx,\quad v = e^x\] \[\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx\]2차 적용:
\[u = 2x,\quad dv = e^x \, dx \\ du = 2 \, dx,\quad v = e^x\] \[\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2e^x\]최종 정리:
\[\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C\]예제 3. 수능 기출 변형 – \(\int \ln x \, dx\)
표면적으로는 곱 형태가 아니지만, 다음처럼 처리:
\[\int \ln x \cdot 1 \, dx\] \[u = \ln x,\quad dv = dx \\ du = \frac{1}{x} dx,\quad v = x\] \[\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C\]메모
- \(\int x^n e^x \, dx\) 꼴은 n만큼 반복 적용
- \(\int \ln x \, dx\) 같은 로그 단독 적분도 부분적분 활용
- 근데 손으로 직접 써보지 않으면 또 금방 까먹을거 같다