부분적분법

두 함수의 곱 형태 적분에서 사용하는 방법.
기본 공식:

\[\int u \, dv = uv - \int v \, du\]

적용 조건

  • 적분 대상이 두 함수의 곱 형태
  • u는 미분하면 단순해지는 함수
  • dv는 적분이 가능한 함수

예제 1

\[\int x e^x \, dx\]
  • \(u = x\), \(dv = e^x dx\)
  • \(du = dx\), \(v = e^x\)

공식에 대입:

\[\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C\]

u 선택 기준 (LIATE 순서)

  1. Logarithmic – \(\ln x\)
  2. Inverse trig – \(\arctan x\), \(\arcsin x\) 등
  3. Algebraic – \(x, x^2\) 등
  4. Trig – \(\sin x, \cos x\) 등
  5. Exponential – \(e^x\), \(a^x\) 등

위에 있을수록 u로 먼저 선택.

예제 2

\[\int x \ln x \, dx\]
  • \(u = \ln x\), \(dv = x dx\)
  • \(du = \frac{1}{x} dx\), \(v = \frac{1}{2}x^2\)

공식에 대입:

\[= \ln x \cdot \frac{1}{2}x^2 - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx \\ = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx \\ = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C\]

메모

  • 곱 형태가 아니더라도 강제로 곱처럼 만들어서 쓰는 경우도 있음 (ex: \(\int \ln x \, dx\))
  • 반복 적용이 필요한 경우도 있음 (ex: \(\int x^2 e^x dx\))
  • u, v를 정하는 방법을 항상 잊어버린다.